Không có một sự tương tự chính xác của định lý giá trị trung bình cho hàm nhận giá trị vector. Trong bộ sách Foundations of Modern Analysis của mình, Jean Dieudonné đã bỏ qua định lý giá trị trung bình và thay thế nó bởi bất đẳng thức trung vì cách chứng minh không có tính xây dựng và chúng ta không thể tìm được giá trị trung bình. Serge Lang, trong quyển Analysis I đã sử dụng định lý giá trị trung bình dạng tích phân, nhưng cách này yêu cầu tính liên tục của đạo hàm. Nếu sử dụng tích phân Henstock-Kurzweil thì ta có thể có định lý giá trị trung bình dưới dạng tích phân mà không cần giả thiết thêm đạo hàm phải liên tục, có điều này là vì mọi đạo hàm đều khả tích Henstock-Kurzweil.

Bài toán có thể được phát biểu như sau: Nếu f : U → R m {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}} là một hàm khả vi (với U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} là tập mở) và nếu x + t h , x , h ∈ R m , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x+th,x,h\in \mathbb {R} ^{m},t\in [0,1]} là một đoạn thẳng nằm trong U {\displaystyle U} , khi đó ta có thể áp dụng quá trình tham số hóa bên trên cho một hàm thành phần f i ( i = 1 , … , m ) {\displaystyle f_{i}\,(i=1,\ldots ,m)} của f {\displaystyle f} (với ký hiệu như trên, đặt y = x + h {\displaystyle y=x+h} ). Như vậy, ta có thể tìm các điểm x + t i h {\displaystyle x+t_{i}h} trên đoạn thẳng sao cho

f i ( x + h ) − f i ( x ) = ∇ f i ( x + t i h ) ⋅ h {\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h} .

Tuy nhiên, với trường hợp tổng quát, không tồn tại một điểm duy nhất x + t ∗ h {\displaystyle x+t^{*}h} trên đoạn thẳng sao cho

f i ( x + h ) − f i ( x ) = ∇ f i ( x + t ∗ h ) ⋅ h {\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h}

đồng thời với mọi i {\displaystyle i} . Để minh họa, ta có thể lấy f : [ 0 , 2 π ] → R 2 {\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}} được xác định bởi các hàm thành phần f 1 ( x ) = cos ⁡ x , f 2 ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle f_{1}(x)=\cos x,f_{2}(x)=\sin x} . Khi đó f ( 2 π ) − f ( 0 ) = 0 ∈ R 2 {\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}} . Tuy nhiên f 1 ′ ( x ) = − sin ⁡ x {\displaystyle f'_{1}(x)=-\sin x} và f 2 ′ ( x ) = cos ⁡ x {\displaystyle f'_{2}(x)=\cos x} không đồng thời bằng 0 với mọi x {\displaystyle x} .

Tuy nhiên, một cách tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình với hàm nhận giá trị vector có thể nhận được như sau: Đặt f {\displaystyle f} là một hàm thực khả vi liên tục được xác định trên một khoảng mở I {\displaystyle I} , và đặt x , x + h {\displaystyle x,x+h} là các điểm của I {\displaystyle I} . Từ định lý giá trị trung bình với hàm một biến, ta suy ra tồn tại một điểm t ∗ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t^{*}\in (0,1)} sao cho

f ( x + h ) − f ( x ) = f ′ ( x + t ∗ h ) ⋅ h {\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t*h)\cdot h} .

Mặt khác, theo định lý cơ bản của giải tích, ta có

f ( x + h ) − f ( x ) = ∫ x x + h f ′ ( u ) d u = ( ∫ 0 1 f ′ ( x + t h ) d t ) ⋅ h . {\displaystyle f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.}

Do đó, giá trị f ′ ( x + t ∗ h ) {\displaystyle f'(x+t^{*}h)} tại điểm t ∗ {\displaystyle t^{*}} được thay thế bởi giá trị trung bình

∫ 0 1 f ′ ( x + t h ) d t . {\displaystyle \int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.}

Công thức này có thể được tổng quát cho hàm nhận giá trị vector: Đặt U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} là tập mở, f : U → R m {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}} khả vi liên tục, và x ∈ U , h ∈ R n {\displaystyle x\in U,h\in \mathbb {R} ^{n}} là các vector sao cho toàn bộ đoạn thẳng x + t h , 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle x+th,0\leq t\leq 1} nằm trong U {\displaystyle U} . Khi đó ta có

( ∗ ) f ( x + h ) − f ( x ) = ( ∫ 0 1 D f ( x + t h ) d t ) ⋅ h , {\displaystyle (*)\qquad f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,}

Với tích phân của ma trận được lấy theo từng thành phần. ( D f {\displaystyle Df} ký hiệu ma trận Jacobi của f {\displaystyle f} .)

Từ điều này, ta còn có thể suy ra rằng nếu ‖ D f ( x + t h ) ‖ {\displaystyle \|Df(x+th)\|} bị chặn với t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} bởi một hằng số M {\displaystyle M} nào đó, khi đó

( ∗ ∗ ) ‖ f ( x + h ) − f ( x ) ‖ ≤ M ‖ h ‖ . {\displaystyle (**)\qquad \|f(x+h)-f(x)\|\leq M\|h\|.}

Chứng minh (*). Ký hiệu f i ( i = 1 , … , m ) {\displaystyle f_{i}\,(i=1,\ldots ,m)} cho các hàm thành phần của f {\displaystyle f} . Xác định g i : [ 0 , 1 ] ↦ R {\displaystyle g_{i}:[0,1]\mapsto \mathbb {R} } bởi g i ( t ) := f i ( x + t h ) {\displaystyle g_{i}(t):=f_{i}(x+th)} . Khi đó ta có

f i ( x + h ) − f i ( x ) = g i ( 1 ) − g i ( 0 ) = ∫ 0 1 g i ′ ( t ) d t = ∫ 0 1 ( ∑ j = 1 n ∂ f i ∂ x j ( x + t h ) h j ) d t = ∑ j = 1 n ( ∫ 0 1 ∂ f i ∂ x j ( x + t h ) d t ) h j . {\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)\,=\,g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)dt=\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)\,dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.}

Khẳng định được suy ra từ việc D f {\displaystyle Df} là ma trận gồm các thành phần ∂ f i ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}} .

Chứng minh (**). Từ (*), ta có

‖ f ( x + h ) − f ( x ) ‖ = ‖ ∫ 0 1 ( D f ( x + t h ) ⋅ h ) d t ‖ ≤ ∫ 0 1 ‖ D f ( x + t h ) ‖ ⋅ ‖ h ‖ d t ≤ M ‖ h ‖ . {\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|=\left\|\int _{0}^{1}(Df(x+th)\cdot h)\,dt\right\|\leq \int _{0}^{1}\|Df(x+th)\|\cdot \|h\|\,dt\leq M\|h\|.}

Ở đây ta đã sử dụng bổ đề sau:Bổ đề. Đặt v : [ a , b ] → R m {\displaystyle v:[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}} là hàm liên tục được xác định trên đoạn [ a , b ] ⊂ R {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} } . Khi đó ta có

( ∗ ∗ ∗ ) ‖ ∫ a b v ( t ) d t ‖ ≤ ∫ a b ‖ v ( t ) ‖ d t . {\displaystyle (***)\qquad \left\|\int _{a}^{b}v(t)\,dt\right\|\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt.}

Chứng minh (***). Đặt u ∈ R m {\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}} là giá trị của tích phân

u := ∫ a b v ( t ) d t . {\displaystyle u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.}

Khi đó ta có

‖ u ‖ 2 = ⟨ u , u ⟩ = ⟨ ∫ a b v ( t ) d t , u ⟩ = ∫ a b ⟨ v ( t ) , u ⟩ d t ≤ ∫ a b ‖ v ( t ) ‖ ⋅ ‖ u ‖ d t = ‖ u ‖ ∫ a b ‖ v ( t ) ‖ d t , {\displaystyle \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt=\|u\|\int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt,}

suy ra ‖ u ‖ ≤ ∫ a b ‖ v ( t ) ‖ d t {\displaystyle \|u\|\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt} . (Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.) Từ đây ta có (***) được chứng minh, và (**) cũng được chứng minh.